Minggu, 22 Maret 2009

INTEGRAL

Anti Turunan(Integral Taktentu )

Definisi :

Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni, jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (jika x suatu titik ujung I, F’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi ).

Teorema A :

(Aturan Pangkat). Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali –1 maka

òXr dx = xr + 1 +C

r+1

contoh soal :

Carilah anti turunan yang umum dari f(x) = x2/3 !!!

Penyelesaian :

òx2 dx = x2/3+1 =3/5 x5/3

2/3+1

Teorema B :

òsin xdx = -cos x + C òcos xdx = sin x + C

Teorema C :

( kelinearan dari ò. . . . dx ). Andaikan f dan g mempunyai nti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka :

  1. ò kf (x) dx = k ò f(x) dx ;
  2. ò [ f(x) + g(x) ] dx = ò f(x) dx + ò g(x) dx ; dan tak tentu
  3. ò [ f(x) – g(x) ] dx = ò f(x) dx – ò g(x) dx

Contoh soal :

Carilah ò(x3 + 2x) dx

Penyelesaian :

ò (4x3 + 3x2 + 2x) = òx3 dx +ò 2x dx

= òx3 dx + 2 òx dx

= ( x4/4 + C ) + 2(x2/2 + C)

= ¼ x4 + x2 + C

Teorema D :

(Aturan pangkat yang diperumum), Andaikan g suatu fungsi yang dapat dideferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan –1. maka

ò[ g(x)]r g’(x) dx = [g(x)] r + 1 + C

r+1

contoh soal :

carilah f(x) + 4= ò ( x5 + 3x2)34 (5x4 + 6x) dx !!!!

penyelesaian :

misalkan g(x) = x5 + 3x2, dan g’(x) = 5x4 + 6x, jadi menurut teorema D,

ò ( x5 + 3x2)34 (5x4 + 6x) dx = ò [g(x)]34 g’(x) dx = [g(x)]35 + C

35

= (x5 + 3x2)35 + C

35

Integral Tentu

Definisi :

(Integral Tentu ). Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tutup [a,b]. jika

n

Lim S f(xi) Dxi

½pï®0 i=1

b

kita katakana f adalah terintegralkan pada [ a, b]. lebih lanjutò f(x) dx, disebut integral tentu(atau integral Riemann) f dari a ke b, diberikan oleh a

n

ò f(x) dx = Lim S f(xi) Dxi

│p│®0 i=1

b

Secara umum ò f(x) dx menyatakan batasan luas daerah yang tercakup di antara kurva y

a

= f(x) dan sumbu x dalam selang [a,b], yang berarti bahwa tanda positif akan diberikan pada luas bagian bagian yang berada di atas sumbu x. dan tanda negatif yang dibawah sumbu x, secara simbolik :

b
ò f(x) dx = Aatas - Abawah

a

Teorema A :

( Teorema keterintegralan ). Jika f terbatas pada [a,b] dan ia kontinudisana kecuali pada sejumlah terhingga titik, maka f terintegralkan pada [a,b]. khususnya, jika f kontinu pada seluruh selang [a,b], maka ia terintegralkan pada [a,b].

Teorema Dasar kalkulus

Teorema A :

(Teorema Dasar kalkulus). Andaikan f kontinue(Karena terintegralkan) pada [a,b] dan andaikan F sembarang anti turunan dari f di sana maka

b
ò f(x) dx = F(b) – F(a)

a

Teorema B :

(kelinearan Integral tentu). Andaikan bahwa f dan g terintegralkan pada [a,b] dan bahwa k konstanta. Maka kf dan f + g adalah terintegralkan dan

b b

  1. ò kf (x) dx = k ò f(x) dx ;

ba a b b

  1. ò [ f(x) + g(x) ] dx = ò f(x) dx + ò g(x) dx + tak tentu

ba ba b a

  1. ò [ f(x) – g(x) ] dx = ò f(x) dx – ò g(x) dx + taktentu

a a a

Sifat sifat integral tentu lebih lanjut

Teorema A :

(Sifat penambahan selang). Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b dan c , maka

c b c
ò f(x) dx = ò f(x)dx + ò f(x) dx + taktentu

a a b

Teorema B :

(Sifat Perbandingan ). Jika f dan g terintegralkan pada [ a, b] dan jika f(x) < g(x) untuk semua x dalam [a,b], maka

b b
ò f(x) dx ≤ ò g(x) dx

a a

contoh soal :

2

1. carilah ò (4x3 – 3x2) dx!!!

1

Penyelesaian :

2 2 2

ò (4x3 – 3x2) dx = ò4x3 dx –ò 3x2

1 1 2 1 2

= 4 òx3 dx – 3 òx2 dx

1 2 1 2

= 4 [x4/4] – 3 [x3/3]

1 1

= 4 (16/4 – ¼) – 3 (8/3 – 1/3) = 8

3

2. carilah ò (3x2 – 2x + 5) dx!!!!

-1

Penyelesaian :

3 3 3 3

ò (3x2 – 2x + 5) dx = ò3x2 dx – ò2x dx + ò5 dx

-1 -1 3 -1 3 -1

= 3[x3/3] – 2[x2/2]

-1 -1

= 3(27/3 + 1/3) – 2(6/2 – ½) = 23

Jumat, 20 Maret 2009

penggunaan turunan

1. Maksimum dan minimum
Dengan menggunakan konsep turunan, nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam selang interval tertentu dapat dicari. Sebelum membahas lebih lanjut tentang bagaimana menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi, terlebih dahulu dibahas mengenai definisi dan teorema-teorema mengenai nilai titik kritis.
Definisi :
Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakan bahwa :

a. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S;
b. f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S;
c. f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Teorema 1
(Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.

Teorema 2
(Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah titik kritis; yakni c berupa salah satu :


(i) titik ujung dari dari I
(ii) titik stasioner dari f (f’(c) = 0)
(iii) titik singular dari f (f’(c) tidak ada)

Contoh soal :
Carilah nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = 2x 3 – 3x2+ 1 !


Penyelesaian :
Turunan pertama dari fungsi f(x) = 2x³ – 3x² + 1 adalah f’(x) = 6x2 – 6x
Nilai stasioner fungsi f(x) diperoleh jika f’(x) = 0
6x² – 6x = 0
6x (x - 6) = 0
x = 0 atau x = 6

Nilai-nilai stasionernya adalah
Untuk x = 0 diperoleh f(0) = 2(0)³ – 3(0)² + 1 = 1
Untuk x = 4 diperoleh f(6) = 2(6)³ – 3(6)² + 1 = 325

Jadi, fungsi f(x) = 2x³ – 3x² + 1 mencapai nilai maksimum pada f(4) = 325 dan nilai minimum f(0) = 1

2. Kemonotonan dan kecekungan

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Kita katakan bahwa:
(i) f adalah naik pada I jika setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I,

x1 < x2 → f(x1) < f(x2)

(ii) f adalah turun pada I jika setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I,

x1 < x2 → f(x1) >f(x2)

(iii) f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I.

Teorema 1
(Teorema Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I.
(i) f’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I.
(ii) f’(x) 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f cekung ke atas pada (a, b).
(ii) f’’(x) 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f.
(ii) Jika f’(x) 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal f.
(iii) Jika f’(x) > 0 bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.

Teorema 2
(Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f’ dan f’’ ada pada setiap titik dalam selang terbuka yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0
(i) Jika f’’(c) 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f.

Contoh soal:

Dimanakah fungsi f(x) = 2x³ – x² + x – 1 akan cekung ke atas dan cekung ke bawah ?

Penyelesaian :
Turunan pertama dan kedua fungsi f(x) = 2x³ – 6x² + x – 1 berturut-turut adalah f’(x) = 6x² – 12x + 1 dan f’’(x) = 12x – 12
Dengan menggunakan uji turunan kedua bagi kecekungan fungsi, dapat ditentukan:
f’’(x) > 0 berarti
=12x – 12 > 0
=12x > 12
= x > 1

f’’(x) < 0 berarti
=12x – 12 < 0
=12x < 12
Jadi, grafik fungsi f(x) = 2x³ – 6x² + x – 1 cekung ke atas dalam daerah {x │ x > 1} dan cekung ke bawah dalam daerah {x │ x < 1}

3. Maksimum dan minimum lokal

Definisi dari nilai maksimum dan minimum lokal adalah sebagai berikut :

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakan bahwa :
(i) f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a, b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a, b) ∩ S;
(ii) f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a, b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a, b) ∩ S;
(iii) f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal.

Teorema 1
(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a, b) yang memuat titik kritis c.
(i) Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f.
(ii) Jika f’(x) 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal f.
(iii) Jika f’(x) > 0 bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.

Teorema 2
(Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f’ dan f’’ ada pada setiap titik dalam selang terbuka yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0
(i) Jika f’’(c) 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f.

Contoh soal:

1. Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f (x) = x² – 4x + 2 pada selang (-∞,∞)

Pemakaian uji turunan pertama
f’(x) = 2x – 4
f’(x) = 2x – 4 = 0
x = 2
f’(x) = 2x – 4 > 0
x > 2, f naik pada [2, ∞ )
f’(x) = 2x – 4 < 0
x < 2, f turun pada (- ∞, 2 ]

f (2) = (2)² – 4(2) + 2 = -2 (nilai minimum lokal)

2. Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f (x) = x³ – 6x² + 1 pada selang (-∞,∞)

Pemakaian uji turunan kedua
f’(x) = 3x2 – 12x < 0
= 3x (x – 4) < 0
berarti x = 0 dan x = 4

f’’(x) = 6x – 12
f’’(0) = 6(0) – 12 = -12 (nilai minimum lokal)
f’’(4) = 6 (4) – 12 = 12 (nilai maksimum lokal)

4. Lebih banyak Masalah Maks-Min

Biasanya kita menganggap bahwa himpunan yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan suatu fungsi berupa selang tertutup. Namun, fakta yang muncul dalam praktek, selang-selang yang diberikan tidak selalu tertutup; kadang-kadang terbuka atau setengah terbuka, setengah tertutup. Kita masih tetap bisa menangani masalah ini jika kita menerapkan secara benar teori-teori sebelumnya yang dikembangkan. Ingat dalam hati bahwa maksimum (minimum) tanpa kata sifat tambahan berarti maksimum (minimum) global.

5. Penerapan Ekonomi

Dewasa ini kalkulus semakin meluas dimanfaatkan oleh berbagai bidang atau ilmu pengetahuan, termasuk ilmu ekonomi. Mengingat analisis dalam bisnis dan ekonomi selalu berhubungan dengan faktor perubahan, kalkulus memainkan peranan penting sebagai salah satu alat analisisnya.
Contoh:
Andaikan C(x) adalah biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan untuk menghasilkan x satuan barang tertentu. Fungsi C disebut fungsi biaya. Jika banyaknya barang yang dihasilkan bertambah dari x1 menjadi x2 , biaya tambahan adalah ∆C = C(x2)-C(x1), dan laju perubahan rata-rata biaya adalah

∆C = C(x2)-C(x1) = C(∆x1+x) – C(x1)
∆x x2 – x1 ∆x

Limit besaran ini ketika, ∆x → 0 yakni laju perubahan sesaat biaya terhadap banyaknya barang yang dihasilkan, oleh para ekonom disebut biaya marjinal:
biaya marjinal = lim ∆C = d C
∆x → 0 ∆x dx
Karena x biasanya hanya berupa bilangan bulat, tidak ada maknanya untuk membiarkan ∆x mendekati 0, tetapi kita selalu dapat menggantikan C(x) dengan suatu fungsi penghampir mulus.
Dengan mengambil ∆x = 1 dan n besar (sehingga ∆x kecil dibandingkan terhadap n) kita mempunyai

C’(n) = C(n + 1) – C(n)

Jadi, biaya marjinal dari memproduksi n satuan kira-kira sama dengan biaya memproduksi satu satuan lebih [satuan ke-(n + 1)]

6. Limit di di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga

(Limit bila x → ∞). Andaikan f terdefinisi pada [c, ∞) untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat

x → ∞

bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga

x > M → │f(x) – L │ < ε

(Limit bila x → – ∞). Andaikan f terdefinisi pada (– ∞, c] untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat

x → – ∞

bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga

x < M → │f(x) – L │ < ε

(Limit-limit tak-terhingga). Kita katakan bahwa lim f(x) = ∞ jika untuk tiap
x → c+
bilangan positif M, berpadanan suatu δ > 0 sedemikian sehingga

0< x – c < │f(x) – L │ < ε

Contoh soal :
Buktikan bahwa lim 5x + 3 = 5
x → ∞ 3x– 1 3

Penyelesaian :

lim 5x + 3 = lim 5+ 3/x = 5 + 0 = 5
x → ∞ 3x – 1 x → ∞ 3 - 1/x 3 – 0 3

7. Penggambaran Grafik Canggih

Biasanya kita cenderung memperlakukan penggambaran grafik secara sederhana. Lalu, bagaimanakah jika grafik yang akan dibuat berasal dari fungsi-fungsi yang tidak lazim. Tentunya kita harus berhati-hati dengan asimtot-asimtot yang mungkin.
Dalam kalkulus telah tersedia alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik, khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya maksimum local, maksimum global, dan titik-titik balik; menentukan secara persis dimana grafik naik atau dimana cekung ke atas.

Langkah 1
Buat analisis pendahuluan sebagai berikut :
a) Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang dikecualikan
b) Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal (Apakah fungsi itu genap atau ganjil?)
c) Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.
d) Gunakan turunan pertamam untuk mencari titik-titik kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun.
e) Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum local.
f) Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah dan untuk melokasikan titik-titik balik.
g) Cari asimtot-asimtot

Langkah 2
Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik balik).

Langkah 3
Sketsakan grafik

8. Teorema Nilai Rata-Rata

Teorema 1
(Teorema Nilai Rata-Rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b] dan terdifferensial pada titik-titik dalam dari (a, b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a, b) di mana

f (b) – f (a) = f’(c)

b – a

atau secara setara dimana

f (b) – f (a) = f’(c) (b – a)

Teorema 2
Jika F’(x) = G’(x) untuk semua x dalam (a, b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga

F(x) = G(x) + C

Untuk semua x dalam (a, b)

Contoh soal :
Carilah bilangan c yang dijamin oleh Teorema nilai rata-rata untuk f(x) = 1 – x2 pada [-6, 8] !

Penyelesaian :

f’(x) = – 2x


f (-6) – f (8) = -35 – (– 63) = -98 = 7
(-6) – (8) –14 -14

-2c = 7
c = -7
2