INTEGRAL
Anti Turunan(Integral Taktentu )
Definisi :
Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni, jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam
Teorema A :
(Aturan Pangkat). Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali –1 maka
òXr dx = xr + 1 +C
r+1
contoh soal :
Carilah anti turunan yang umum dari f(x) = x2/3 !!!
Penyelesaian :
òx2 dx = x2/3+1 =3/5 x5/3
2/3+1
Teorema B :
òsin xdx = -cos x + C òcos xdx = sin x + C
Teorema C :
( kelinearan dari ò. . . . dx ). Andaikan f dan g mempunyai nti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka :
- ò kf (x) dx = k ò f(x) dx ;
- ò [ f(x) + g(x) ] dx = ò f(x) dx + ò g(x) dx ; dan tak tentu
- ò [ f(x) – g(x) ] dx = ò f(x) dx – ò g(x) dx
Contoh soal :
Carilah ò(x3 + 2x) dx
Penyelesaian :
ò (4x3 + 3x2 + 2x) = òx3 dx +ò 2x dx
= òx3 dx + 2 òx dx
= ( x4/4 + C ) + 2(x2/2 + C)
= ¼ x4 + x2 + C
Teorema D :
(Aturan pangkat yang diperumum), Andaikan g suatu fungsi yang dapat dideferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan –1. maka
ò[ g(x)]r g’(x) dx = [g(x)] r + 1 + C
r+1
contoh soal :
carilah f(x) + 4= ò ( x5 + 3x2)34 (5x4 + 6x) dx !!!!
penyelesaian :
misalkan g(x) = x5 + 3x2, dan g’(x) = 5x4 + 6x, jadi menurut teorema D,
ò ( x5 + 3x2)34 (5x4 + 6x) dx = ò [g(x)]34 g’(x) dx = [g(x)]35 + C
35
= (x5 + 3x2)35 + C
35
Integral Tentu
Definisi :
(Integral Tentu ). Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tutup [a,b]. jika
n
Lim S f(xi) Dxi
½pï®0 i=1
b
kita katakana f adalah terintegralkan pada [ a, b]. lebih lanjutò f(x) dx, disebut integral tentu(atau integral Riemann) f dari a ke b, diberikan oleh a
n
ò f(x) dx = Lim S f(xi) Dxi
│p│®0 i=1
b
Secara umum ò f(x) dx menyatakan batasan luas daerah yang tercakup di antara kurva y
a
= f(x) dan sumbu x dalam selang [a,b], yang berarti bahwa tanda positif akan diberikan pada luas bagian bagian yang berada di atas sumbu x. dan tanda negatif yang dibawah sumbu x, secara simbolik :
b
ò f(x) dx = Aatas - Abawah
a
Teorema A :
( Teorema keterintegralan ). Jika f terbatas pada [a,b] dan ia kontinudisana kecuali pada sejumlah terhingga titik, maka f terintegralkan pada [a,b]. khususnya, jika f kontinu pada seluruh selang [a,b], maka ia terintegralkan pada [a,b].
Teorema Dasar kalkulus
Teorema A :
(Teorema Dasar kalkulus). Andaikan f kontinue(Karena terintegralkan) pada [a,b] dan andaikan F sembarang anti turunan dari f di sana maka
b
ò f(x) dx = F(b) – F(a)
a
Teorema B :
(kelinearan Integral tentu). Andaikan bahwa f dan g terintegralkan pada [a,b] dan bahwa k konstanta. Maka kf dan f + g adalah terintegralkan dan
b b
- ò kf (x) dx = k ò f(x) dx ;
ba a b b
- ò [ f(x) + g(x) ] dx = ò f(x) dx + ò g(x) dx + tak tentu
ba ba b a
- ò [ f(x) – g(x) ] dx = ò f(x) dx – ò g(x) dx + taktentu
a a a
Sifat sifat integral tentu lebih lanjut
Teorema A :
(Sifat penambahan selang). Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b dan c , maka
c b c
ò f(x) dx = ò f(x)dx + ò f(x) dx + taktentu
a a b
Teorema B :
(Sifat Perbandingan ). Jika f dan g terintegralkan pada [ a, b] dan jika f(x) < g(x) untuk semua x dalam [a,b], maka
b b
ò f(x) dx ≤ ò g(x) dx
a a
contoh soal :
2
1. carilah ò (4x3 – 3x2) dx!!!
1
Penyelesaian :
2 2 2
ò (4x3 – 3x2) dx = ò4x3 dx –ò 3x2
1 1 2 1 2
= 4 òx3 dx – 3 òx2 dx
1 2 1 2
= 4 [x4/4] – 3 [x3/3]
1 1
= 4 (16/4 – ¼) – 3 (8/3 – 1/3) = 8
3
2. carilah ò (3x2 – 2x + 5) dx!!!!
-1
Penyelesaian :
3 3 3 3
ò (3x2 – 2x + 5) dx = ò3x2 dx – ò2x dx + ò5 dx
-1 -1 3 -1 3 -1
= 3[x3/3] – 2[x2/2]
-1 -1
= 3(27/3 + 1/3) – 2(6/2 – ½) = 23