Minggu, 22 Maret 2009

INTEGRAL

Anti Turunan(Integral Taktentu )

Definisi :

Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni, jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (jika x suatu titik ujung I, F’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi ).

Teorema A :

(Aturan Pangkat). Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali –1 maka

òXr dx = xr + 1 +C

r+1

contoh soal :

Carilah anti turunan yang umum dari f(x) = x2/3 !!!

Penyelesaian :

òx2 dx = x2/3+1 =3/5 x5/3

2/3+1

Teorema B :

òsin xdx = -cos x + C òcos xdx = sin x + C

Teorema C :

( kelinearan dari ò. . . . dx ). Andaikan f dan g mempunyai nti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka :

  1. ò kf (x) dx = k ò f(x) dx ;
  2. ò [ f(x) + g(x) ] dx = ò f(x) dx + ò g(x) dx ; dan tak tentu
  3. ò [ f(x) – g(x) ] dx = ò f(x) dx – ò g(x) dx

Contoh soal :

Carilah ò(x3 + 2x) dx

Penyelesaian :

ò (4x3 + 3x2 + 2x) = òx3 dx +ò 2x dx

= òx3 dx + 2 òx dx

= ( x4/4 + C ) + 2(x2/2 + C)

= ¼ x4 + x2 + C

Teorema D :

(Aturan pangkat yang diperumum), Andaikan g suatu fungsi yang dapat dideferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan –1. maka

ò[ g(x)]r g’(x) dx = [g(x)] r + 1 + C

r+1

contoh soal :

carilah f(x) + 4= ò ( x5 + 3x2)34 (5x4 + 6x) dx !!!!

penyelesaian :

misalkan g(x) = x5 + 3x2, dan g’(x) = 5x4 + 6x, jadi menurut teorema D,

ò ( x5 + 3x2)34 (5x4 + 6x) dx = ò [g(x)]34 g’(x) dx = [g(x)]35 + C

35

= (x5 + 3x2)35 + C

35

Integral Tentu

Definisi :

(Integral Tentu ). Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tutup [a,b]. jika

n

Lim S f(xi) Dxi

½pï®0 i=1

b

kita katakana f adalah terintegralkan pada [ a, b]. lebih lanjutò f(x) dx, disebut integral tentu(atau integral Riemann) f dari a ke b, diberikan oleh a

n

ò f(x) dx = Lim S f(xi) Dxi

│p│®0 i=1

b

Secara umum ò f(x) dx menyatakan batasan luas daerah yang tercakup di antara kurva y

a

= f(x) dan sumbu x dalam selang [a,b], yang berarti bahwa tanda positif akan diberikan pada luas bagian bagian yang berada di atas sumbu x. dan tanda negatif yang dibawah sumbu x, secara simbolik :

b
ò f(x) dx = Aatas - Abawah

a

Teorema A :

( Teorema keterintegralan ). Jika f terbatas pada [a,b] dan ia kontinudisana kecuali pada sejumlah terhingga titik, maka f terintegralkan pada [a,b]. khususnya, jika f kontinu pada seluruh selang [a,b], maka ia terintegralkan pada [a,b].

Teorema Dasar kalkulus

Teorema A :

(Teorema Dasar kalkulus). Andaikan f kontinue(Karena terintegralkan) pada [a,b] dan andaikan F sembarang anti turunan dari f di sana maka

b
ò f(x) dx = F(b) – F(a)

a

Teorema B :

(kelinearan Integral tentu). Andaikan bahwa f dan g terintegralkan pada [a,b] dan bahwa k konstanta. Maka kf dan f + g adalah terintegralkan dan

b b

  1. ò kf (x) dx = k ò f(x) dx ;

ba a b b

  1. ò [ f(x) + g(x) ] dx = ò f(x) dx + ò g(x) dx + tak tentu

ba ba b a

  1. ò [ f(x) – g(x) ] dx = ò f(x) dx – ò g(x) dx + taktentu

a a a

Sifat sifat integral tentu lebih lanjut

Teorema A :

(Sifat penambahan selang). Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b dan c , maka

c b c
ò f(x) dx = ò f(x)dx + ò f(x) dx + taktentu

a a b

Teorema B :

(Sifat Perbandingan ). Jika f dan g terintegralkan pada [ a, b] dan jika f(x) < g(x) untuk semua x dalam [a,b], maka

b b
ò f(x) dx ≤ ò g(x) dx

a a

contoh soal :

2

1. carilah ò (4x3 – 3x2) dx!!!

1

Penyelesaian :

2 2 2

ò (4x3 – 3x2) dx = ò4x3 dx –ò 3x2

1 1 2 1 2

= 4 òx3 dx – 3 òx2 dx

1 2 1 2

= 4 [x4/4] – 3 [x3/3]

1 1

= 4 (16/4 – ¼) – 3 (8/3 – 1/3) = 8

3

2. carilah ò (3x2 – 2x + 5) dx!!!!

-1

Penyelesaian :

3 3 3 3

ò (3x2 – 2x + 5) dx = ò3x2 dx – ò2x dx + ò5 dx

-1 -1 3 -1 3 -1

= 3[x3/3] – 2[x2/2]

-1 -1

= 3(27/3 + 1/3) – 2(6/2 – ½) = 23

Tidak ada komentar:

Posting Komentar